꼭 무한대가 아니다라도 sin(1/x) 와 같이 0으로 갈때 극한값이 진동하는 함수도 연속이 아닌 이유도요.
2025.08.10 9:03
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답글
무한대로 발산하는 함수가 그 점에서 불연속인 이유는 lim x->a f(x)가 f(a)와 같지 않기 때문입니다.
진동함수도 마찬가지로 연속의 정의로 설명하면 쉽게 보일 수는 있습니다.
다만 질문자께서 질문하신 취지는 (특히 진동하는 경우) 끊어지지 않는것으로 보이는데 어떻게 불연속인지에 대한 질문이겠죠??
sin (1/x)는 아주 특수한 함수로 연속을 끊어지지 않음으로 판단하기에 매우 난해한 함수라 생각됩니다.
연속을 처음 정의할 때에는 분명 끊어지지 않음이라는 것에서 영감을 받아 정의한 것은 아마 맞을 겁니다.
그러나 그 과정에서 모든 함수를 고려해서 정의한 것은 아닐 것이며, 가장 평범하고 흔히 쓰이는 함수를 가지고 식을 정의하게 되며,
정의한 이후에는 그 정의의 경계라는 느낌이 드는 함수에서는 직관에 반하거나 애매한 함수들이 있게 될 것이며 sin 1/x는 약간 그런 류에 해당하는 함수입니다.
그런 경우에는 수학적 정의에 의존하여 판정하여야 하며, 우리의 느낌으로 판정하는 것은 어렵다고 보아야 할 것입니다.
진동함수도 마찬가지로 연속의 정의로 설명하면 쉽게 보일 수는 있습니다.
다만 질문자께서 질문하신 취지는 (특히 진동하는 경우) 끊어지지 않는것으로 보이는데 어떻게 불연속인지에 대한 질문이겠죠??
sin (1/x)는 아주 특수한 함수로 연속을 끊어지지 않음으로 판단하기에 매우 난해한 함수라 생각됩니다.
연속을 처음 정의할 때에는 분명 끊어지지 않음이라는 것에서 영감을 받아 정의한 것은 아마 맞을 겁니다.
그러나 그 과정에서 모든 함수를 고려해서 정의한 것은 아닐 것이며, 가장 평범하고 흔히 쓰이는 함수를 가지고 식을 정의하게 되며,
정의한 이후에는 그 정의의 경계라는 느낌이 드는 함수에서는 직관에 반하거나 애매한 함수들이 있게 될 것이며 sin 1/x는 약간 그런 류에 해당하는 함수입니다.
그런 경우에는 수학적 정의에 의존하여 판정하여야 하며, 우리의 느낌으로 판정하는 것은 어렵다고 보아야 할 것입니다.
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